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篇一:关于微商
请问达人,什么是L2空间?什么是H1空间?
对于任意可测集E,如果函数f的平方在E上的积分是有限的,则称f属于L2(E).换言之,L2(E)就是在E上平方积分有限的函数的全体.
类似可以定义Lp空间(p>0),将上文中的平方换成绝对值的p次方就可以了.
为了定义H1空间,先要定义两个概念.
设D是一个区域（n维）.
定义1：按L2(D)收敛
如果当m趋于无穷时,Um-U的完全平方在D上的积分趋于0,我们就说Um按L2(D)收敛于U.
定义2：强广义微商
设U属于L2(D),如果存在序列{Um}（Um不一定属于L2(D),但是每个Um在D的闭包上都有连续导函数）,Un满足：Um按L2(D)收敛于U,并且Um对每一个坐标分量xi（n维的就是x1,x2,...,xn）的偏导数都按L2(D)收敛于vi（新的函数）,那么就称U关于x=(x1,x2,...,xn)有一阶强广义微商.且U关于xi的强广义微商等于vi.
那么我们可以定义H1空间了.
H1空间：
设D是一个区域（n维）,那么H1(D)表示属于L2(D)、具有所有的（n个）一阶强广义微商、并且强广义微商也属于L2(D)的一切函数组成的空间.它也称为索博列夫空间.
在以上定义中,L2和H1都是和区域D（E）有关的.离开了区域的限制,空谈什么是L2和H1是没有意义的——这就像是说一个人身高1米75,他是否是高个子一样.
篇二:关于微商
关于微分的概念以及与积分,不定积分的关系
上大学一年,有个问题一直没懂,首先微分是针对变量的还是函数的,比如y=f(x),dy是否可以脱离dx而存在,按书中dy由dx定义,但是从微分方程中的变量分离法中可看出dy可以脱离dx进行不定积分,还有不定积分中积分号后面的是导函数配上一个记号d（）,还是就是一个微分形式.关于上述问题的一个例子：若y=f(x).z=g(y),在第一个中dy不是Δy,是f"(x)Δx,而在第二个里面dy就是Δy.这不是矛盾么.
在数学中,微分是对函数的局部变化率的一种线性描述.微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时,函数的值是怎样改变的.
设函数y = f(x)在x0的邻域内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内.如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数）,而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小,注：o读作奥密克戎,希腊字母,那么称函数f(x)在点x0是可微的,且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx.函数的微分是函数增量的主要部分,且是Δx的线性函数,故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）.
通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx = Δx.于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f"(x)dx.函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数.因此,导数也叫做微商.
当自变量X改变为X+△X时,相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X),如果存在一个与△X无关的常数A,使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量,则称A·△X是f(X)在X的微分,记为dy,并称f(X)在X可微.一元微积分中,可微可导等价.记A·△X=dy,则dy=f′(X)dX.例如：d(sinX)=cosXdX.
微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的,在微小局部可以用直线去微分近似替代曲线,它的直接应用就是函数的线性化.微分具有双重意义：它表示一个微小的量,因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值,这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想.
篇三:关于微商
关于微分算符
有谁知道?
要简单说.【关于微商】
0-5 二阶微分算符 格林定理
Second-order
Difference Operator,
Green"s Theorem
1,一阶微分运算(First-order Difference Calculation)
将算符 直接作用于标量场和矢量场,即分别得到梯度,散度和旋度,即 这些都叫一阶微分运算.
举例:
a)设 为源点 与场 之间的距离,r 的方向规定为源点指向场点,试分别对场点和源点求r 的梯度.
第一步:源点固定,r 是场点的函数,对场点求梯度用 r表示,则有
而
场点(观察点)
源点
坐标原点
o
同理可得:
故得到:
第二步:场点固定,r是源点的函数,对源点求梯度用 表示.
而
同理可得:
所以得到:
作业:
b) 设u是空间坐标x,y,z的函数,证明
证:这是求复合函数的导数(梯度),按复合函数微分法则,有
c) 设
求
而
同理可得
那么
这里
同理可得
故有
由此可见:
d) 设u是空间坐标x,y,z的函数,证明
证:
e) 设u是空间坐标x,y,z的函数,证明
证:
2,二阶微分运算(Calculation of Two-order Difference)
将算符 作用于梯度,散度和旋度,则称为二阶微分运算,设 为标量场,为矢量场.
并假设 的分量具有所需要的阶的连续微商,则不难得到:
(1)标量场的梯度必为无旋场
(2)矢量场的旋度必为无散场
(3)无旋场可表示一个标量场的梯度
(4)无散场可表示一个矢量场的旋度
(5)标量场的梯度的散度为
(6)矢量场的旋度的旋度为
3,运算于乘积(Calculation of Multiplication with )
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
根据常矢运算法则
则有:
故有:
(7)
根据常矢运算法则:
则有
(8)
因为
故有
从而得到:
4,格林定理(Green"s theorem)
由Gauss"s theorem得到:
将上式 交换位置,得到
以上两式相减,得到
5,常用几个公式
设
试求:
a)
而
同理:
b)
从而可见:
篇四:关于微商
关于导数的基本知识
导数（derivative function）
亦名纪数、微商（微分中的概念）,由速度变化问题和曲线的切线问题而抽象出来的数学概念.又称变化率. 如一辆汽车在10小时内走了 600千米,它的平均速度是60千米／小时. 但在实际行驶过程中,是有快慢变化的,不都是60千米／小时. 为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况,可以缩短时间间隔, 设汽车所在位置s与时间t的关系为 s＝f（t） 那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是 [f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 当 t1与t0很接近时,汽车行驶的快慢变化就不会很大,平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 . 自然就把极限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度,这就是通常所说的速度. 一般地,假设一元函数 y＝f(x )在 x0点的附近(x0－a ,x0 ＋a)内有定义; 当自变量的增量Δx＝ x－x0→0时函数增量Δy＝f（x）－ f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导,称之为f在x0点的（或变化率). 导数的几何意义
若函数f在区间I 的每一点都可导,便得到一个以I为定义域的新函数,记作 f(x)" 或y",称之为f的导函数,简称为导数. 函数y＝f（x）在x0点的导数f"（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0〔x0,f（x0）〕 点的切线斜率 一般地,我们得出用函数的导数来判断函数的增减性的法则：设y＝f(x )在（a,b）内可导.如果在（a,b）内,f"（x）>0,则f（x）在这个区间是单调增加的.如果在（a,b）内,f"（x）
篇五:关于微商
请教数分知识
请问：导数和微分的区别【关于微商】
对于一元函数y=f(x)而言,导数和微分没什么差别.导数的几何意义是曲线y=f(x)的瞬时变化率,即切线斜率.微分是指函数因变量的增量和自变量增量的比值△y=△f(x+△x)-f(x),这里可以把自变量x看成是关于自身的函数y=x,那么△x=△y,所以微分另一种说法叫微商,dy/dx是两个变量的比值.一般来说,dy/dx=y".
对于多元函数,如二元函数z=f(x,y)而言,导数变成了关于某个变量的偏导数.此时,微分符号dz/dx是个整体,不能拆开理解.而且,有个重要区别,可导不一定可微.即可导是可微的必要非充分条件.但是,有定理,若偏导数连续则函数可微.具体看全微分与偏导数有关章节.
篇六:关于微商
椭圆体/椭球体的面积公式?
长半径7.5m,短半径6.5m,椭球体,面积怎么算?
1)首先您缺个条件.椭球应该有x轴,y轴和z轴三个轴,你还缺一个z轴半径.2）假设三个轴的轴长分别是a,b,c3)用三重积分可以算出来.我算过体积是4/3πabc（a=b=c就是球,体积4/3πr^3).表面积公式应该是∫∫∫√1+z"(x)��+z‘（y）��dxdydz说明一下,椭球的空间直角坐标方程为x��/a��+y��/b��+z��/c��=1上述方程解出z后,是一个关于x,y的二元函数,z’（x）代表z对x的偏微商.计算起来计算量比较大,表面积是4/3π（ab+bc+ca)
篇七:关于微商
d(dy/dx)/dx如何理解?
d(dy/dx)/dx可不可以写成d(dy)/(dx)^2?也就是y的微分再微分除以（x的微分）的平方?
为什么“微分算子在没有给定函数前 可以独立的做类似“乘法”的运算”？依据是什么呀？d/dx不是要搭上一个函数f(x)才能当作是f(x)的微分除以x的微分嘛，现在既然没有f(x)，那就不能看成是微商，那怎么能做类似乘法的计算呢？不好意思哦，多问了点，呵呵
可以
但不是这样理解
一般把 d/dx 作为微分算子 ,加上一个确切的 函数 才能求知
d(dy/dx)/dx实际上是对 y 先用 d/dx 作为微分算子 进行一次运算后 再 进行一次同样的运算
d/dx 是一个整体
微分算子之间可以做乘法运算
如,d(dy/dx)/dx 可写作 [(d/dx)^2 ]y = d^2 y/(dx)^2
其意义为 对 y 求关于x 的二阶导数
注意：
1. d/dx 是一个整体,他表示对 某个函数关于 x 求微分比
2.微分算子在没有给定函数前 可以独立的做类似“乘法”的运算
例子见图片,
前两个是 微分算子运算 和 对函数求导数
后两个是 偏微分算子运算 和 对函数求偏导数
篇八:关于微商
微分的概念是什么啊?
百度上找的：实话实说微分的概念
一,微分概念的引入
在实际测量中,由于受到仪器精度的限制,往往会产生误差.例如x0为准确数,实际测量出是x*=x0+Δx为x0的近似数,由此产生的误差为Δx相应产生的函数值的误差Δy=f(x0+Δx)-f(x0),往往需要估计Δy的值.如果f(x0+Δx),f(x0)计算很复杂.因此计算Δy也很麻烦或者实际中只知道近似数x*与误差|Δx|≤δ,又如何估计Δy
假设f′(x)存在,则
==f′(x0),有
=f′(x0)+α,α=0,于是
Δy=f′(x0)Δx+αΔx,而=0 (1)即 αΔx=0(Δx)(Δx→0)因此,当|Δx|很小时,
Δy≈f′(x0)Δx
在实际中如果不知道x0,只知道x*,由x0,x*相差很小,则
Δy≈f′(x*)Δx,从而可以估计出Δy.
从(1)式我们看到,f′(x0)相对Δx是一个常数,αΔx是Δx的高阶无穷小,如果Δy=AΔx+0(Δx)(Δx→0),则Δy≈AΔx,由此得到微分的概念.
二,微分的概念
定义 设y=f(x)在x0的某领域U(x0)内有定义,若
Δy=f(x+Δx)-f(x)可表示为
Δy=AΔx+o(Δx) (Δx→0)
其中A是写Δx无关的常数,AΔx称为Δy的线性部.则称y=f(x)在点x处可微,称线性部AΔx为y=f(x)在点x处的微分,记为dy,即dy=AΔx.
三,可微与可导的关系
从概念的引入,我们可以看到可导必可微,反之也是正确的.因此有
定理 函数y=f(x)在点x可微的充要条件是函数y=f(x)在点x处可导.且A=f′(x).
证 充分性,由f(x)在点x处可导,有
=f′(x),于是
=f′(x)+α,其中α=0,有
Δy=f′(x)Δx+αΔx,由=0,有αΔx=o(Δx)(Δx→0)
所以
Δy=f′(x)Δx+o(Δx) (Δx→0)
因此,y=f(x)在点x处可微且f′(x)=A.
必要性 由y=f(x)在点x处可微,由定义知
Δy=AΔx+0(Δx) (Δx→0),A与Δx无关.
由=[A+]=A=f′(x)
所以y=f(x)在点x处可导.
于是,若y=f(x)在点x处可微,则
dy=AΔx,由A=f′(x),有
dy=f′(x)Δx
由函数x在x处可微,则dx=(x)′Δx=Δx,即自变量的改变量等于自变量的微分,因此
dy=f′(x)dx等价于=f′(x)
由此可见,导数f′(x)等于函数y=f(x)的微分dy与自变量x的微分dx的商.因此,导数又称为微商,这时不仅可以看成一个整体记号,也可以看成dy与dx的商.
下面举几个例子,来说明微分的一些实际意义
圆面积S=πr2,其中r为圆半径,则
图2-6
ΔS=π(r+Δr) 2-πr2=2πrΔr+π(Δr) 2
ds=2πrΔr=2πrdr
当半径有增量Δr时,圆面积的增量ΔS,如图中圆环表示,用微分ds近似它即以边长为2πr(圆)环内圆长)高为圆环厚度dr的长方形面积来近似.如图2-7
图2-7
(2)圆柱体体积V=πr2h,其中r为圆柱体的底面半径,h为圆柱的高
Δv=π(r+Δr) 2h-πr2h
=2πrhΔhΔr+πh(Δr) 2
dv=2πrhΔr=2πrhdr
图2-8
当底面半径有增量Δr时,圆柱体的增量Δv,如图中空心圆柱表示,用微分dv近似,即底面长为2πr(内圆柱底面周长)宽为h(圆柱的高)高为圆柱厚度Δr的长方体体积.如图2-9
(3)球的体积v=πr3(其中r为地球半径),当半径有增量Δr时,球体积的增量(即薄球壳的体积Δv)
ΔV=π(r+Δr)3-πr3
=π[r3+3r2Δr+3rΔr3-πr3]
=4πr2Δr+(4rπΔr+πΔr2)Δr
dv=4πr2Δr
即薄球壳的体积Δv用微分dv近似即以球壳内球面面积4πr2与厚dr的乘积来近似.
四,微分的几何意义
若y=f(x)在点x处可微,则
Δy=f′(x)Δx+o(Δx)=dy+o(Δx)
图2-9
及PT中曲线y=f(x)在曲线上点P(x,y)处的切线斜率tanα=f′(x)
Δy=f(x+Δx)-f(x)=NQ
dy=f′(x)Δx=tanα Δx=NT
图2-10
o(Δx)=Δy-dy=NQ-NT=TQ
由dy≈Δy,即
NT≈NQ,则
|PT|=≈=|PQ|≈||
因此,当|Δx|很小时,可用线段NT近似代替NQ,或者说在P点邻近,可用切线段PT近似代替曲线弧.
2.2 微分的基本性质
一,微分基本公式
由dy=f(x)dx,将导数公式表中每个导数乘上自变量的微分dx,便得相应的微分公式(公式略,请读者写出来).
二,微分的四则运算
定理 设u(x),v(x)在点x处均可微,则
u±v,uv,cu(c为常数), (v≠0)在点x处都可微,且
1. d(u±v)=du±dv
2. d(uv)=vdu+udv特别d(cu)=cdu(c为常数)
3. d()= (v≠0),特别d()=- (v≠0)
注:微分的四则运算与导数的四则运算类似,只须把导数四则运算中的导数改成微分,就可得到微分的四则运算.
证3 d()=()′dx=dx
== (v≠0)
三,一阶微分不变形
定理 若u=φ(x)在x处可微,y=f(u)在点u(u=φ(x))处可微,则复合函数
y=f(φ(x))在点x处可微,且
dy=f′(u)du
证:由复合函数的求导法则知,y=f(φ(x))在点x处可导,所以在点x处可微,且
dy[WB]=f′(φ(x))φ′(x)dx
=f′(φ(x))dφ′(x)
=f′(u)du
dy=f′(u)du,即这里u是中间变量,它与当x是自变量,y=f(x)在点x处可微,dy=f′(x)dx形式一样.我们称之为微分的一阶不变性.
例1. y=e
解法一 由y′=ecos (x2+)·(2x+)
于是 dy=y′dx=ecos (x2+)(2x+)dx
解法2 利用微分的四则运算和微分一阶不变性
dy=de=edsin(x2+)
=ecos (x2+)d(x2+)
=ecos (x2+)[d(x2)+d]
=ecos (x2+)[2xdx+dx]
=ecos(x2+)(2x+)dx
从这里也可得到y′=ecos (x2+)(2x+)
例2. 求由方程2y-x=(x-y) ln(x-y)所确定的函数y=y(x)的微分dy
解 对方程两端求微分
d(2y-x)=ln (x-y)d(x-y)-(x-y)dln(x-y)得
2dy-dx=ln(x-y)(dx-dy)-(dx-dy)解出dy,有
dy=dx
例3. 利用微分求,
解:====y′
从这里可以看出,只要求ψ′(t),φ′(t)存在且φ′(t)≠0,存在
===dt
=
2.3 近似计算与误差估计
一,近似计算
若y=f(x)在点x0处可微,即
Δy=f(x0+Δx)-f(x0)≈f′(x0)Δx+o(Δx) (Δx→0)
当|Δx|很小时,有
Δy≈f′(x0)Δx (1)
即f(x0+Δx))-f(x0)≈f′(x0)Δx,则
f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx (2)
(1)式为我们提供计算Δy近似值的公式
(2)式为我们提供计算f(x0+Δx)近似值的公式
特别x0=0有f(Δx)≈f(0)+f′(0)Δx
设Δx=x,若|x|很小时,有
f(x)≈f(0)+f′(0)x,于是当|x|很小时
sin≈xtsx≈x,ln (1+x)≈x
ex≈1+x,(1+x)α≈1+αx (α≠0)
与我们前面讲的等价无穷小量完全一致.
例4. 计算的近似值
解 设f(x)= f′(x)=x,f′(1)=
由=f(1.002)=f(1+0.002)
≈f(1)+f′(1)×0.002
=1=×0.002=1.00002
二,误差估计
从微分概念的引入可知,应用微分来估计误差,是非常方便迅速的.设x0为准确数,x*为近似的数,则x*-x0=Δx称为准确数x0的绝对误差限,若存在正数δx,使|x*-x0|=|Δx|≤δx,则称δx为绝对误差限.称 (或)为准确数的相对误差,而 (或)为相对误差限.
若y=f(x),则
|Δy|≈|dy|=|f′(x0)Δx|≤|f′(x0)|δxδy
于是δy=|f′(x0)|δx或|f′(x*)|δx称为y的绝对误差限
=δx或δx称为y的相对误差限.
例5. 为了计算出球的体积精确到1%,问度量球的直径D所允许的最大相对误差是多少
解 球的体积v= ()3=由
dv=dD,于是
==3由≤1%有
3≤1%,即≤%≈0.33%
2.4* 高阶微分
若y=f(x)在区间X上可微(x为自变量),则
dy=f′(x)dx
这里dy不仅与x有关,与dx=Δx也有关,而Δx是与x无关的一个量.我现在是研究dy与x之间的关系.因此,在这里Δx相对于x来说是个常数,所以dy是x的函数,如果dy又可微即f〃(x)存在,则d(dy)=d(f′(x)dx)=d(f′(x))dx=f〃(x)dxdx=f〃(x)dx2称为f(x)的二阶微分,记作d2y,即
d2y=f〃(x)dx2
一般地若dn-1y=f(n-1)(x)dxn-1可微,即f(n)(x)存在
则d(dn-1y)=d(f(n-1) (x)dxn-1)=d(f(n-1)(x))dxn-1
=f(n)(x)dx·dxn-1=f(n)(x)dxn称为f(x)的n阶微分,记作dny,即dny=f(n)(x)dxn则
=f(n)(x) (x为自变量)
因此f(n)(x)可看成dny与dxn的商,又称n阶微商.
我们知道不论u是中间变量,还是自变量,f′(u)存在(若u是中间变量,u′(x)存在)都有一阶微分不变性.
dy=f′(u)du
二阶有没有微分不变性呢,若x是自变量,f〃(x)存在,则
d2y=f〃(x)dx2
若y=f(u),u=φ(x)且f〃(u),φ〃都存在
由 dy=f′(u)du,于是
d2y=d(dy)=d(f′(u)du)=du·df′(u)+f′(u)d(du)
=f〃(u)du du+f′(u)d2u
=f〃(u)du2+f′(u)d2u
由 du=dφ(x)=φ′(x)dx
d2u=φ〃(x)dx2,一般情况下d2u 0
同样 f′(u)d2u0
因此,不具有二阶微 不变性,因此n>1,不具有微不变性,若u是中间变量
=f(n)(u),仅表示对u的n阶导数.
但只能看成一个整体符号,不能看成商
注:d(x2),dx2,d2x的区别
d(x2)=2xdx,dx2=(dx)2
d2x=d(dx) 0
篇九:关于微商
z=f(x,y)可解出y=y（z,x）,z对y的偏导不等于0,能得出y对x的偏导为0吗
应当是：z=f(x,y)=0, z"y非0,具备隐函数存在的条件,可解出：
dy/dx=-z"x/z"y
其中：z"x, z"y分别是f(x,y)对x,y的偏导数.
dy/dx 等不等于0,要看函数：f（x,y）的具体形式：可为0,也可不为0,一般不等于0.